\(\int \frac {\cos ^3(c+d x) (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx\) [994]

Optimal result

Integrand size = 41, antiderivative size = 456 \[ \int \frac {\cos ^3(c+d x) \left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\frac {\left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) x}{2 b^5}-\frac {a \left (6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{5/2} b^5 (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

1/2*(2*A*b^2-6*B*a*b+12*C*a^2+C*b^2)*x/b^5-a*(6*A*b^6-6*B*a^5*b+15*B*a^3*b^3-12*B*a*b^5+a^4*b^2*(2*A-29*C)-5*a
^2*b^4*(A-4*C)+12*a^6*C)*arctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/(a-b)^(5/2)/b^5/(a+b)^(5/2)/d+1/2*
(6*B*a^4*b-11*B*a^2*b^3+2*B*b^5-a^3*b^2*(2*A-21*C)+a*b^4*(5*A-6*C)-12*C*a^5)*sin(d*x+c)/b^4/(a^2-b^2)^2/d-1/2*
(3*B*a^3*b-6*B*a*b^3-a^2*b^2*(A-10*C)+b^4*(4*A-C)-6*a^4*C)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/b^3/(a^2-b^2)^2/d-1/2*(A*b^2-
a*(B*b-C*a))*cos(d*x+c)^3*sin(d*x+c)/b/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^2+1/2*(3*A*b^4+a*(2*B*a^2*b-5*B*b^3-4*C*a^
3+7*C*a*b^2))*cos(d*x+c)^2*sin(d*x+c)/b^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 4.82 (sec) , antiderivative size = 456, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.146, Rules used = {3126, 3128, 3102, 2814, 2738, 211} \[ \int \frac {\cos ^3(c+d x) \left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=-\frac {\sin (c+d x) \cos ^3(c+d x) \left (A b^2-a (b B-a C)\right )}{2 b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {x \left (12 a^2 C-6 a b B+2 A b^2+b^2 C\right )}{2 b^5}+\frac {\sin (c+d x) \cos ^2(c+d x) \left (a \left (-4 a^3 C+2 a^2 b B+7 a b^2 C-5 b^3 B\right )+3 A b^4\right )}{2 b^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\sin (c+d x) \cos (c+d x) \left (-6 a^4 C+3 a^3 b B-a^2 b^2 (A-10 C)-6 a b^3 B+b^4 (4 A-C)\right )}{2 b^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {\sin (c+d x) \left (-12 a^5 C+6 a^4 b B-a^3 b^2 (2 A-21 C)-11 a^2 b^3 B+a b^4 (5 A-6 C)+2 b^5 B\right )}{2 b^4 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {a \left (12 a^6 C-6 a^5 b B+a^4 b^2 (2 A-29 C)+15 a^3 b^3 B-5 a^2 b^4 (A-4 C)-12 a b^5 B+6 A b^6\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^5 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}} \]

[In]

Int[(Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

((2*A*b^2 - 6*a*b*B + 12*a^2*C + b^2*C)*x)/(2*b^5) - (a*(6*A*b^6 - 6*a^5*b*B + 15*a^3*b^3*B - 12*a*b^5*B + a^4
*b^2*(2*A - 29*C) - 5*a^2*b^4*(A - 4*C) + 12*a^6*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a -
b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) + ((6*a^4*b*B - 11*a^2*b^3*B + 2*b^5*B - a^3*b^2*(2*A - 21*C) + a*b^4*(5*A - 6*C
) - 12*a^5*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - a^2*b^2*(A - 10*C) + b^4*(4*A
- C) - 6*a^4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^3*S
in[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 + a*(2*a^2*b*B - 5*b^3*B - 4*a^3*C + 7*a*b
^2*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 2814

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*(x/d)
, x] - Dist[(b*c - a*d)/d, Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0]

Rule 3102

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Dist[1/(
b*(m + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*(m + 2) - a*C)*Sin[e + f*x], x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 3126

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C - B*c*d + A*d^2))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Dist[1/(d*(n + 1)
*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) +
(c*C - B*d)*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (d*(A*(a*d*(n + 2) - b*c*(n + 1)) + B*(b*d*(n + 1) - a*c*(n + 2))) - C*(b*
c*d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n +
1)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3128

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)
*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e
+ f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n + 2))), x] + Dist[1/(d*(m + n + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*
x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 2) + C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + (d*(A*b + a*B)*(m + n +
2) - C*(a*c - b*d*(m + n + 1)))*Sin[e + f*x] + (C*(a*d*m - b*c*(m + 1)) + b*B*d*(m + n + 2))*Sin[e + f*x]^2, x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d
^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[a, 0] && NeQ[c, 0])))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (3 \left (A b^2-a (b B-a C)\right )+2 b (b B-a (A+C)) \cos (c+d x)-2 \left (A b^2-a b B+2 a^2 C-b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{2 b \left (a^2-b^2\right )} \\ & = -\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\cos (c+d x) \left (2 \left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right )+b \left (a^2 b B+2 b^3 B+a^3 C-a b^2 (3 A+4 C)\right ) \cos (c+d x)-2 \left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {-2 a \left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right )+2 b \left (a^3 b B-4 a b^3 B-2 a^4 C+b^4 (2 A+C)+a^2 b^2 (A+4 C)\right ) \cos (c+d x)+2 \left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \cos ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{4 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {-2 a b \left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right )+2 \left (a^2-b^2\right )^2 \left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) \cos (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{4 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) x}{2 b^5}+\frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (a \left (6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right )\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^5 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) x}{2 b^5}+\frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (a \left (6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{b^5 \left (a^2-b^2\right )^2 d} \\ & = \frac {\left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) x}{2 b^5}-\frac {a \left (2 a^4 A b^2-5 a^2 A b^4+6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+12 a^6 C-29 a^4 b^2 C+20 a^2 b^4 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{5/2} b^5 (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 8.08 (sec) , antiderivative size = 883, normalized size of antiderivative = 1.94 \[ \int \frac {\cos ^3(c+d x) \left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\frac {\frac {16 a \left (6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right )}{\left (-a^2+b^2\right )^{5/2}}+\frac {16 a^6 A b^2 c-24 a^4 A b^4 c+8 A b^8 c-48 a^7 b B c+72 a^5 b^3 B c-24 a b^7 B c+96 a^8 c C-136 a^6 b^2 c C-12 a^4 b^4 c C+48 a^2 b^6 c C+4 b^8 c C+16 a^6 A b^2 d x-24 a^4 A b^4 d x+8 A b^8 d x-48 a^7 b B d x+72 a^5 b^3 B d x-24 a b^7 B d x+96 a^8 C d x-136 a^6 b^2 C d x-12 a^4 b^4 C d x+48 a^2 b^6 C d x+4 b^8 C d x+16 a b \left (a^2-b^2\right )^2 \left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) (c+d x) \cos (c+d x)+4 \left (-a^2 b+b^3\right )^2 \left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) (c+d x) \cos (2 (c+d x))-16 a^5 A b^3 \sin (c+d x)+40 a^3 A b^5 \sin (c+d x)+48 a^6 b^2 B \sin (c+d x)-84 a^4 b^4 B \sin (c+d x)+8 a^2 b^6 B \sin (c+d x)+4 b^8 B \sin (c+d x)-96 a^7 b C \sin (c+d x)+160 a^5 b^3 C \sin (c+d x)-32 a^3 b^5 C \sin (c+d x)-8 a b^7 C \sin (c+d x)-12 a^4 A b^4 \sin (2 (c+d x))+24 a^2 A b^6 \sin (2 (c+d x))+36 a^5 b^3 B \sin (2 (c+d x))-64 a^3 b^5 B \sin (2 (c+d x))+16 a b^7 B \sin (2 (c+d x))-72 a^6 b^2 C \sin (2 (c+d x))+130 a^4 b^4 C \sin (2 (c+d x))-48 a^2 b^6 C \sin (2 (c+d x))+2 b^8 C \sin (2 (c+d x))+4 a^4 b^4 B \sin (3 (c+d x))-8 a^2 b^6 B \sin (3 (c+d x))+4 b^8 B \sin (3 (c+d x))-8 a^5 b^3 C \sin (3 (c+d x))+16 a^3 b^5 C \sin (3 (c+d x))-8 a b^7 C \sin (3 (c+d x))+a^4 b^4 C \sin (4 (c+d x))-2 a^2 b^6 C \sin (4 (c+d x))+b^8 C \sin (4 (c+d x))}{\left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}}{16 b^5 d} \]

[In]

Integrate[(Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

((16*a*(6*A*b^6 - 6*a^5*b*B + 15*a^3*b^3*B - 12*a*b^5*B + a^4*b^2*(2*A - 29*C) - 5*a^2*b^4*(A - 4*C) + 12*a^6*
C)*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]])/(-a^2 + b^2)^(5/2) + (16*a^6*A*b^2*c - 24*a^4*A*b^4*c
+ 8*A*b^8*c - 48*a^7*b*B*c + 72*a^5*b^3*B*c - 24*a*b^7*B*c + 96*a^8*c*C - 136*a^6*b^2*c*C - 12*a^4*b^4*c*C +
48*a^2*b^6*c*C + 4*b^8*c*C + 16*a^6*A*b^2*d*x - 24*a^4*A*b^4*d*x + 8*A*b^8*d*x - 48*a^7*b*B*d*x + 72*a^5*b^3*B
*d*x - 24*a*b^7*B*d*x + 96*a^8*C*d*x - 136*a^6*b^2*C*d*x - 12*a^4*b^4*C*d*x + 48*a^2*b^6*C*d*x + 4*b^8*C*d*x +
16*a*b*(a^2 - b^2)^2*(2*A*b^2 - 6*a*b*B + 12*a^2*C + b^2*C)*(c + d*x)*Cos[c + d*x] + 4*(-(a^2*b) + b^3)^2*(2*
A*b^2 - 6*a*b*B + 12*a^2*C + b^2*C)*(c + d*x)*Cos[2*(c + d*x)] - 16*a^5*A*b^3*Sin[c + d*x] + 40*a^3*A*b^5*Sin[
c + d*x] + 48*a^6*b^2*B*Sin[c + d*x] - 84*a^4*b^4*B*Sin[c + d*x] + 8*a^2*b^6*B*Sin[c + d*x] + 4*b^8*B*Sin[c +
d*x] - 96*a^7*b*C*Sin[c + d*x] + 160*a^5*b^3*C*Sin[c + d*x] - 32*a^3*b^5*C*Sin[c + d*x] - 8*a*b^7*C*Sin[c + d*
x] - 12*a^4*A*b^4*Sin[2*(c + d*x)] + 24*a^2*A*b^6*Sin[2*(c + d*x)] + 36*a^5*b^3*B*Sin[2*(c + d*x)] - 64*a^3*b^
5*B*Sin[2*(c + d*x)] + 16*a*b^7*B*Sin[2*(c + d*x)] - 72*a^6*b^2*C*Sin[2*(c + d*x)] + 130*a^4*b^4*C*Sin[2*(c +
d*x)] - 48*a^2*b^6*C*Sin[2*(c + d*x)] + 2*b^8*C*Sin[2*(c + d*x)] + 4*a^4*b^4*B*Sin[3*(c + d*x)] - 8*a^2*b^6*B*
Sin[3*(c + d*x)] + 4*b^8*B*Sin[3*(c + d*x)] - 8*a^5*b^3*C*Sin[3*(c + d*x)] + 16*a^3*b^5*C*Sin[3*(c + d*x)] - 8
*a*b^7*C*Sin[3*(c + d*x)] + a^4*b^4*C*Sin[4*(c + d*x)] - 2*a^2*b^6*C*Sin[4*(c + d*x)] + b^8*C*Sin[4*(c + d*x)]
)/((a^2 - b^2)^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2))/(16*b^5*d)

Maple [A] (verified)

Time = 0.93 (sec) , antiderivative size = 483, normalized size of antiderivative = 1.06

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {-\frac {2 a \left (\frac {\frac {\left (2 A \,a^{2} b^{2}-a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}-4 B \,a^{3} b +B \,a^{2} b^{2}+8 B a \,b^{3}+6 a^{4} C -a^{3} b C -10 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}+\frac {b a \left (2 A \,a^{2} b^{2}+a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}-4 B \,a^{3} b -B \,a^{2} b^{2}+8 B a \,b^{3}+6 a^{4} C +a^{3} b C -10 C \,a^{2} b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) b +a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (2 A \,a^{4} b^{2}-5 a^{2} A \,b^{4}+6 A \,b^{6}-6 B \,a^{5} b +15 B \,a^{3} b^{3}-12 B a \,b^{5}+12 a^{6} C -29 a^{4} b^{2} C +20 a^{2} C \,b^{4}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 b^{2} a^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{b^{5}}+\frac {\frac {2 \left (\left (B \,b^{2}-3 a b C -\frac {1}{2} C \,b^{2}\right ) \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+\left (B \,b^{2}-3 a b C +\frac {1}{2} C \,b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{\left (1+\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )^{2}}+\left (2 A \,b^{2}-6 B a b +12 a^{2} C +C \,b^{2}\right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{b^{5}}}{d}\)	\(483\)
default	\(\frac {-\frac {2 a \left (\frac {\frac {\left (2 A \,a^{2} b^{2}-a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}-4 B \,a^{3} b +B \,a^{2} b^{2}+8 B a \,b^{3}+6 a^{4} C -a^{3} b C -10 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}+\frac {b a \left (2 A \,a^{2} b^{2}+a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}-4 B \,a^{3} b -B \,a^{2} b^{2}+8 B a \,b^{3}+6 a^{4} C +a^{3} b C -10 C \,a^{2} b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) b +a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (2 A \,a^{4} b^{2}-5 a^{2} A \,b^{4}+6 A \,b^{6}-6 B \,a^{5} b +15 B \,a^{3} b^{3}-12 B a \,b^{5}+12 a^{6} C -29 a^{4} b^{2} C +20 a^{2} C \,b^{4}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 b^{2} a^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{b^{5}}+\frac {\frac {2 \left (\left (B \,b^{2}-3 a b C -\frac {1}{2} C \,b^{2}\right ) \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+\left (B \,b^{2}-3 a b C +\frac {1}{2} C \,b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{\left (1+\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )^{2}}+\left (2 A \,b^{2}-6 B a b +12 a^{2} C +C \,b^{2}\right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{b^{5}}}{d}\)	\(483\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2178\)

[In]

int(cos(d*x+c)^3*(A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(-2*a/b^5*((1/2*(2*A*a^2*b^2-A*a*b^3-6*A*b^4-4*B*a^3*b+B*a^2*b^2+8*B*a*b^3+6*C*a^4-C*a^3*b-10*C*a^2*b^2)*a
*b/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3+1/2*b*a*(2*A*a^2*b^2+A*a*b^3-6*A*b^4-4*B*a^3*b-B*a^2*b^2+8*B*a*b
^3+6*C*a^4+C*a^3*b-10*C*a^2*b^2)/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-tan(1/2*d*x+1/2*c)^
2*b+a+b)^2+1/2*(2*A*a^4*b^2-5*A*a^2*b^4+6*A*b^6-6*B*a^5*b+15*B*a^3*b^3-12*B*a*b^5+12*C*a^6-29*C*a^4*b^2+20*C*a
^2*b^4)/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2)))+2/b^5*((
(B*b^2-3*a*b*C-1/2*C*b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3+(B*b^2-3*a*b*C+1/2*C*b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(1+tan(1/2*d*x+1/
2*c)^2)^2+1/2*(2*A*b^2-6*B*a*b+12*C*a^2+C*b^2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1018 vs. \(2 (437) = 874\).

Time = 0.47 (sec) , antiderivative size = 2107, normalized size of antiderivative = 4.62 \[ \int \frac {\cos ^3(c+d x) \left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^3*(A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(2*(12*C*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + (2*A - 35*C)*a^6*b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 3*(2*A - 11*C)*a^4*b^6 - 18*B*a^3*
b^7 + 3*(2*A - 3*C)*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - (2*A + C)*b^10)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 4*(12*C*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + (
2*A - 35*C)*a^7*b^3 + 18*B*a^6*b^4 - 3*(2*A - 11*C)*a^5*b^5 - 18*B*a^4*b^6 + 3*(2*A - 3*C)*a^3*b^7 + 6*B*a^2*b
^8 - (2*A + C)*a*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + 2*(12*C*a^10 - 6*B*a^9*b + (2*A - 35*C)*a^8*b^2 + 18*B*a^7*b^3 - 3*(2
*A - 11*C)*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 3*(2*A - 3*C)*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - (2*A + C)*a^2*b^8)*d*x - (12*C*a^9 -
6*B*a^8*b + (2*A - 29*C)*a^7*b^2 + 15*B*a^6*b^3 - 5*(A - 4*C)*a^5*b^4 - 12*B*a^4*b^5 + 6*A*a^3*b^6 + (12*C*a^
7*b^2 - 6*B*a^6*b^3 + (2*A - 29*C)*a^5*b^4 + 15*B*a^4*b^5 - 5*(A - 4*C)*a^3*b^6 - 12*B*a^2*b^7 + 6*A*a*b^8)*co
s(d*x + c)^2 + 2*(12*C*a^8*b - 6*B*a^7*b^2 + (2*A - 29*C)*a^6*b^3 + 15*B*a^5*b^4 - 5*(A - 4*C)*a^4*b^5 - 12*B*
a^3*b^6 + 6*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 -
2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c)
+ a^2)) - 2*(12*C*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + (2*A - 33*C)*a^7*b^3 + 17*B*a^6*b^4 - (7*A - 27*C)*a^5*b^5 - 13*B*a^4*
b^6 + (5*A - 6*C)*a^3*b^7 + 2*B*a^2*b^8 - (C*a^6*b^4 - 3*C*a^4*b^6 + 3*C*a^2*b^8 - C*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 2*
(2*C*a^7*b^3 - B*a^6*b^4 - 6*C*a^5*b^5 + 3*B*a^4*b^6 + 6*C*a^3*b^7 - 3*B*a^2*b^8 - 2*C*a*b^9 + B*b^10)*cos(d*x
+ c)^2 + (18*C*a^8*b^2 - 9*B*a^7*b^3 + (3*A - 50*C)*a^6*b^4 + 25*B*a^5*b^5 - (9*A - 43*C)*a^4*b^6 - 20*B*a^3*
b^7 + (6*A - 11*C)*a^2*b^8 + 4*B*a*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^6*b^7 - 3*a^4*b^9 + 3*a^2*b^11 - b^13)
*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^7*b^6 - 3*a^5*b^8 + 3*a^3*b^10 - a*b^12)*d*cos(d*x + c) + (a^8*b^5 - 3*a^6*b^7 + 3*a^
4*b^9 - a^2*b^11)*d), 1/2*((12*C*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + (2*A - 35*C)*a^6*b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 3*(2*A - 11*C)*
a^4*b^6 - 18*B*a^3*b^7 + 3*(2*A - 3*C)*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - (2*A + C)*b^10)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 2*(12*C*a^9*
b - 6*B*a^8*b^2 + (2*A - 35*C)*a^7*b^3 + 18*B*a^6*b^4 - 3*(2*A - 11*C)*a^5*b^5 - 18*B*a^4*b^6 + 3*(2*A - 3*C)*
a^3*b^7 + 6*B*a^2*b^8 - (2*A + C)*a*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + (12*C*a^10 - 6*B*a^9*b + (2*A - 35*C)*a^8*b^2 + 18
*B*a^7*b^3 - 3*(2*A - 11*C)*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 3*(2*A - 3*C)*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - (2*A + C)*a^2*b^8)*
d*x - (12*C*a^9 - 6*B*a^8*b + (2*A - 29*C)*a^7*b^2 + 15*B*a^6*b^3 - 5*(A - 4*C)*a^5*b^4 - 12*B*a^4*b^5 + 6*A*a
^3*b^6 + (12*C*a^7*b^2 - 6*B*a^6*b^3 + (2*A - 29*C)*a^5*b^4 + 15*B*a^4*b^5 - 5*(A - 4*C)*a^3*b^6 - 12*B*a^2*b^
7 + 6*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2 + 2*(12*C*a^8*b - 6*B*a^7*b^2 + (2*A - 29*C)*a^6*b^3 + 15*B*a^5*b^4 - 5*(A - 4*C
)*a^4*b^5 - 12*B*a^3*b^6 + 6*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sqrt(a^2 -
b^2)*sin(d*x + c))) - (12*C*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + (2*A - 33*C)*a^7*b^3 + 17*B*a^6*b^4 - (7*A - 27*C)*a^5*b^5
- 13*B*a^4*b^6 + (5*A - 6*C)*a^3*b^7 + 2*B*a^2*b^8 - (C*a^6*b^4 - 3*C*a^4*b^6 + 3*C*a^2*b^8 - C*b^10)*cos(d*x
+ c)^3 + 2*(2*C*a^7*b^3 - B*a^6*b^4 - 6*C*a^5*b^5 + 3*B*a^4*b^6 + 6*C*a^3*b^7 - 3*B*a^2*b^8 - 2*C*a*b^9 + B*b^
10)*cos(d*x + c)^2 + (18*C*a^8*b^2 - 9*B*a^7*b^3 + (3*A - 50*C)*a^6*b^4 + 25*B*a^5*b^5 - (9*A - 43*C)*a^4*b^6
- 20*B*a^3*b^7 + (6*A - 11*C)*a^2*b^8 + 4*B*a*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^6*b^7 - 3*a^4*b^9 + 3*a^2*b
^11 - b^13)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^7*b^6 - 3*a^5*b^8 + 3*a^3*b^10 - a*b^12)*d*cos(d*x + c) + (a^8*b^5 - 3*a^6
*b^7 + 3*a^4*b^9 - a^2*b^11)*d)]

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\cos ^3(c+d x) \left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)**3*(A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)**2)/(a+b*cos(d*x+c))**3,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\cos ^3(c+d x) \left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^3*(A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 3417 vs. \(2 (437) = 874\).

Time = 0.70 (sec) , antiderivative size = 3417, normalized size of antiderivative = 7.49 \[ \int \frac {\cos ^3(c+d x) \left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^3*(A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2*(((2*a^4*b^2 - a^3*b^3 - 4*a^2*b^4 + 4*a*b^5 + 2*b^6)*sqrt(a^2 - b^2)*A*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)*ab
s(-a + b) - 3*(2*a^5*b - a^4*b^2 - 4*a^3*b^3 + 2*a^2*b^4 + 2*a*b^5)*sqrt(a^2 - b^2)*B*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7
+ b^9)*abs(-a + b) + (12*a^6 - 6*a^5*b - 23*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 - a*b^5 + b^6)*sqrt(a^2 - b^2)*C
*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)*abs(-a + b) + (4*a^9*b^6 - 2*a^8*b^7 - 17*a^7*b^8 + 8*a^6*b^9 + 30*a^5*b^10 -
12*a^4*b^11 - 25*a^3*b^12 + 8*a^2*b^13 + 8*a*b^14 - 2*b^15)*sqrt(a^2 - b^2)*A*abs(-a + b) - 3*(4*a^10*b^5 - 2*
a^9*b^6 - 17*a^8*b^7 + 8*a^7*b^8 + 28*a^6*b^9 - 12*a^5*b^10 - 21*a^4*b^11 + 8*a^3*b^12 + 6*a^2*b^13 - 2*a*b^14
)*sqrt(a^2 - b^2)*B*abs(-a + b) + (24*a^11*b^4 - 12*a^10*b^5 - 100*a^9*b^6 + 47*a^8*b^7 + 158*a^7*b^8 - 68*a^6
*b^9 - 111*a^5*b^10 + 42*a^4*b^11 + 28*a^3*b^12 - 8*a^2*b^13 + a*b^14 - b^15)*sqrt(a^2 - b^2)*C*abs(-a + b))*(
pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2) + arctan(2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)/sqrt((4*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 + 4*a*b^8 + sqrt(
-16*(a^5*b^4 + a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 - 2*a^2*b^7 + a*b^8 + b^9)*(a^5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b
^8 - b^9) + 16*(a^5*b^4 - 2*a^3*b^6 + a*b^8)^2))/(a^5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9))))/
((a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)^2*(a^2 - 2*a*b + b^2) + (a^7*b^4 - 2*a^6*b^5 - a^5*b^6 + 4*a^4*b^7 - a^3*b^8 - 2*
a^2*b^9 + a*b^10)*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)) - (24*C*a^11*b^4 - 12*B*a^10*b^5 - 12*C*a^10*b^5 + 4*A*a^9*b
^6 + 6*B*a^9*b^6 - 100*C*a^9*b^6 - 2*A*a^8*b^7 + 51*B*a^8*b^7 + 47*C*a^8*b^7 - 17*A*a^7*b^8 - 24*B*a^7*b^8 + 1
58*C*a^7*b^8 + 8*A*a^6*b^9 - 84*B*a^6*b^9 - 68*C*a^6*b^9 + 30*A*a^5*b^10 + 36*B*a^5*b^10 - 111*C*a^5*b^10 - 12
*A*a^4*b^11 + 63*B*a^4*b^11 + 42*C*a^4*b^11 - 25*A*a^3*b^12 - 24*B*a^3*b^12 + 28*C*a^3*b^12 + 8*A*a^2*b^13 - 1
8*B*a^2*b^13 - 8*C*a^2*b^13 + 8*A*a*b^14 + 6*B*a*b^14 + C*a*b^14 - 2*A*b^15 - C*b^15 - 12*C*a^6*abs(a^4*b^5 -
2*a^2*b^7 + b^9) + 6*B*a^5*b*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 6*C*a^5*b*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 2*A*a
^4*b^2*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 3*B*a^4*b^2*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 23*C*a^4*b^2*abs(a^4*b^5
- 2*a^2*b^7 + b^9) + A*a^3*b^3*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 12*B*a^3*b^3*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) -
10*C*a^3*b^3*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 4*A*a^2*b^4*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 6*B*a^2*b^4*abs(a^4
*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 10*C*a^2*b^4*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 4*A*a*b^5*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^
9) + 6*B*a*b^5*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + C*a*b^5*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 2*A*b^6*abs(a^4*b^5 -
2*a^2*b^7 + b^9) - C*b^6*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9))*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2) + arctan(2*tan(1/2
*d*x + 1/2*c)/sqrt((4*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 + 4*a*b^8 - sqrt(-16*(a^5*b^4 + a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 - 2*a^2*b^7 + a*
b^8 + b^9)*(a^5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9) + 16*(a^5*b^4 - 2*a^3*b^6 + a*b^8)^2))/(a
^5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9))))/(a^5*b^4*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 2*a^3*b^6
*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + a*b^8*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - (a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)^2) + 2*(1
2*C*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 6*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 2*A*a^
5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 9*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 17*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 3*A*
a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 9*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 33*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 5*
A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 16*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 +
6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 2*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 13*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7
+ 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 4*C*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*B*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + C*b^7
*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 36*C*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 18*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 18*C*a^6*b*tan
(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 9*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 67*C*a^5*b^2*t
an(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 35*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 29*C*a^4*b^
3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 15*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 16*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 26*C*a^
3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 10*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 5*C*
a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 4*C*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 2*B*b^7
*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 3*C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*C*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 18*B*a^6*b*tan(1/
2*d*x + 1/2*c)^3 + 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 6*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 9*B*a^5*b^2*tan(1/
2*d*x + 1/2*c)^3 - 67*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 35*B*a^4*b^3*tan
(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 29*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 15*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 16*B*a^3*b^4
*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 26*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 10*B*a^2*
b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 5*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*C*a*b^6
*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 2*B*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 3*C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 12*C*a^7*tan(1/2*d
*x + 1/2*c) - 6*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 2*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2
*c) - 9*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 17*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)
+ 9*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 33*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 5*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 16
*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 2*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 2*B*a^
2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 13*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 4*C*a*b^6*ta
n(1/2*d*x + 1/2*c) - 2*B*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8)*(
a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 + 2*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^2))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 19.14 (sec) , antiderivative size = 16028, normalized size of antiderivative = 35.15 \[ \int \frac {\cos ^3(c+d x) \left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((cos(c + d*x)^3*(A + B*cos(c + d*x) + C*cos(c + d*x)^2))/(a + b*cos(c + d*x))^3,x)

[Out]

((tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(3*C*b^7 - 36*C*a^7 - 2*B*b^7 - 6*A*a^2*b^5 + 15*A*a^3*b^4 + 3*A*a^4*b^3 - 6*A*a^5*b^2
+ 10*B*a^2*b^5 + 16*B*a^3*b^4 - 35*B*a^4*b^3 - 9*B*a^5*b^2 + 5*C*a^2*b^5 - 26*C*a^3*b^4 - 29*C*a^4*b^3 + 67*C*
a^5*b^2 - 4*B*a*b^6 + 18*B*a^6*b + 4*C*a*b^6 + 18*C*a^6*b))/((a + b)^2*(b^6 - 2*a*b^5 + a^2*b^4)) - (tan(c/2 +
(d*x)/2)^3*(2*B*b^7 + 36*C*a^7 + 3*C*b^7 - 6*A*a^2*b^5 - 15*A*a^3*b^4 + 3*A*a^4*b^3 + 6*A*a^5*b^2 - 10*B*a^2*
b^5 + 16*B*a^3*b^4 + 35*B*a^4*b^3 - 9*B*a^5*b^2 + 5*C*a^2*b^5 + 26*C*a^3*b^4 - 29*C*a^4*b^3 - 67*C*a^5*b^2 - 4
*B*a*b^6 - 18*B*a^6*b - 4*C*a*b^6 + 18*C*a^6*b))/((a + b)^2*(b^6 - 2*a*b^5 + a^2*b^4)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^7
*(C*b^6 - 12*C*a^6 - 2*B*b^6 + 6*A*a^2*b^4 + A*a^3*b^3 - 2*A*a^4*b^2 + 4*B*a^2*b^4 - 12*B*a^3*b^3 - 3*B*a^4*b^
2 - 8*C*a^2*b^4 - 10*C*a^3*b^3 + 23*C*a^4*b^2 + 2*B*a*b^5 + 6*B*a^5*b + 5*C*a*b^5 + 6*C*a^5*b))/((a*b^4 - b^5)
*(a + b)^2) + (tan(c/2 + (d*x)/2)*(2*B*b^6 - 12*C*a^6 + C*b^6 + 6*A*a^2*b^4 - A*a^3*b^3 - 2*A*a^4*b^2 - 4*B*a^
2*b^4 - 12*B*a^3*b^3 + 3*B*a^4*b^2 - 8*C*a^2*b^4 + 10*C*a^3*b^3 + 23*C*a^4*b^2 + 2*B*a*b^5 + 6*B*a^5*b - 5*C*a
*b^5 - 6*C*a^5*b))/((a + b)*(b^6 - 2*a*b^5 + a^2*b^4)))/(d*(2*a*b + tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(6*a^2 - 2*b^2) + tan
(c/2 + (d*x)/2)^2*(4*a*b + 4*a^2) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(4*a*b - 4*a^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(a^2 - 2*a*b +
b^2) + a^2 + b^2)) - (atan(((((((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*
A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*
B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11
+ 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^
8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2
*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*6i + b^2*(A
*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*3i)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 3
2*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^
11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*3i))/b^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)
/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 3
2*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a
^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*
b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b
^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7
- 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14
- 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*
a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^
10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^
6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12
*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7
*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^1
4 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*
1i)/2) - B*a*b*3i)*1i)/b^5 - (((((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*
A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*
B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11
+ 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^
8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2
*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*6i + b^2*(A
*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*3i)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 3
2*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^
11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*3i))/b^5 - (8*tan(c/2 + (d*x)
/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 3
2*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a
^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*
b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b
^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7
- 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14
- 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*
a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^
10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^
6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12
*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7
*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^1
4 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*
1i)/2) - B*a*b*3i)*1i)/b^5)/((((((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*
A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*
B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11
+ 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^
8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2
*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*6i + b^2*(A
*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*3i)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 3
2*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^
11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*3i))/b^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)
/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 3
2*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a
^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*
b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b
^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7
- 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14
- 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*
a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^
10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^
6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12
*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7
*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^1
4 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*
1i)/2) - B*a*b*3i))/b^5 - (8*(1728*C^3*a^15 + 24*A^3*a*b^14 - 864*C^3*a^14*b + 48*A^3*a^2*b^13 - 68*A^3*a^3*b^
12 - 52*A^3*a^4*b^11 + 72*A^3*a^5*b^10 + 26*A^3*a^6*b^9 - 36*A^3*a^7*b^8 - 4*A^3*a^8*b^7 + 8*A^3*a^9*b^6 - 432
*B^3*a^4*b^11 - 432*B^3*a^5*b^10 + 1404*B^3*a^6*b^9 + 756*B^3*a^7*b^8 - 1728*B^3*a^8*b^7 - 486*B^3*a^9*b^6 + 9
72*B^3*a^10*b^5 + 108*B^3*a^11*b^4 - 216*B^3*a^12*b^3 + 20*C^3*a^3*b^12 - 20*C^3*a^4*b^11 + 411*C^3*a^5*b^10 -
11*C^3*a^6*b^9 + 1314*C^3*a^7*b^8 + 2326*C^3*a^8*b^7 - 7829*C^3*a^9*b^6 - 4770*C^3*a^10*b^5 + 11700*C^3*a^11*
b^4 + 3456*C^3*a^12*b^3 - 7344*C^3*a^13*b^2 + 6*A*C^2*a*b^14 + 24*A^2*C*a*b^14 - 2592*B*C^2*a^14*b + 504*A*B^2
*a^3*b^12 + 648*A*B^2*a^4*b^11 - 1548*A*B^2*a^5*b^10 - 972*A*B^2*a^6*b^9 + 1800*A*B^2*a^7*b^8 + 558*A*B^2*a^8*
b^7 - 972*A*B^2*a^9*b^6 - 108*A*B^2*a^10*b^5 + 216*A*B^2*a^11*b^4 - 192*A^2*B*a^2*b^13 - 312*A^2*B*a^3*b^12 +
564*A^2*B*a^4*b^11 + 396*A^2*B*a^5*b^10 - 624*A^2*B*a^6*b^9 - 210*A^2*B*a^7*b^8 + 324*A^2*B*a^8*b^7 + 36*A^2*B
*a^9*b^6 - 72*A^2*B*a^10*b^5 - 6*A*C^2*a^2*b^13 + 207*A*C^2*a^3*b^12 + 33*A*C^2*a^4*b^11 + 1158*A*C^2*a^5*b^10
+ 1974*A*C^2*a^6*b^9 - 4977*A*C^2*a^7*b^8 - 3405*A*C^2*a^8*b^7 + 6486*A*C^2*a^9*b^6 + 2088*A*C^2*a^10*b^5 - 3
744*A*C^2*a^11*b^4 - 432*A*C^2*a^12*b^3 + 864*A*C^2*a^13*b^2 + 12*A^2*C*a^2*b^13 + 300*A^2*C*a^3*b^12 + 552*A^
2*C*a^4*b^11 - 1020*A^2*C*a^5*b^10 - 747*A^2*C*a^6*b^9 + 1188*A^2*C*a^7*b^8 + 408*A^2*C*a^8*b^7 - 636*A^2*C*a^
9*b^6 - 72*A^2*C*a^10*b^5 + 144*A^2*C*a^11*b^4 - 12*B*C^2*a^2*b^13 + 12*B*C^2*a^3*b^12 - 489*B*C^2*a^4*b^11 +
9*B*C^2*a^5*b^10 - 2892*B*C^2*a^6*b^9 - 3972*B*C^2*a^7*b^8 + 13347*B*C^2*a^8*b^7 + 7767*B*C^2*a^9*b^6 - 18594*
B*C^2*a^10*b^5 - 5400*B*C^2*a^11*b^4 + 11232*B*C^2*a^12*b^3 + 1296*B*C^2*a^13*b^2 + 144*B^2*C*a^3*b^12 + 1980*
B^2*C*a^5*b^10 + 2268*B^2*C*a^6*b^9 - 7524*B^2*C*a^7*b^8 - 4203*B^2*C*a^8*b^7 + 9828*B^2*C*a^9*b^6 + 2808*B^2*
C*a^10*b^5 - 5724*B^2*C*a^11*b^4 - 648*B^2*C*a^12*b^3 + 1296*B^2*C*a^13*b^2 - 120*A*B*C*a^2*b^13 - 24*A*B*C*a^
3*b^12 - 1560*A*B*C*a^4*b^11 - 2268*A*B*C*a^5*b^10 + 5568*A*B*C*a^6*b^9 + 3642*A*B*C*a^7*b^8 - 6840*A*B*C*a^8*
b^7 - 2160*A*B*C*a^9*b^6 + 3816*A*B*C*a^10*b^5 + 432*A*B*C*a^11*b^4 - 864*A*B*C*a^12*b^3))/(a*b^18 + b^19 - 3*
a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (((((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^
2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9
*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*
B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16
+ 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a
*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12
) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*3i)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 +
32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14
+ b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*
1i)/2) - B*a*b*3i))/b^5 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a
*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8
+ 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B
^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^
2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2
*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^
2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b +
48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 1
92*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104
*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*
A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*
B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1
128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6
*b^9 - a^7*b^8))*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*3i))/b^5))*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*
b*3i)*2i)/(b^5*d) + (a*atan(((a*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14
+ C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^
10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B
^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^
2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*
a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a
^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13
- 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 2
88*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*
A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*
A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B
*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650
*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*
b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) + (a*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b
^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^
19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a
^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 -
360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20
))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (4*a*tan(c/2 +
(d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^
2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^1
5 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 1
0*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9
- a^7*b^8)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20
*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*
b^7 - a^10*b^5)))*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2
- 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*1i)/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)) + (a*
(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C
^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6
*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 +
36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 28
8*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108
*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 110
4*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*
b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7
- 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 +
104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 -
376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 -
72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4
+ 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 -
a^6*b^9 - a^7*b^8) - (a*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b
^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*B*a^4*b
^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 + 28*C*
a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13
+ 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 -
3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^
(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^
5 - 6*B*a^5*b)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 +
32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5
)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(-(a + b)^5*(a - b
)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B
*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(6*A*b^6 + 12*
C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*1i)/(
2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))/((8*(1728*C^3*a^15 + 24*A^3*a*b^14 -
864*C^3*a^14*b + 48*A^3*a^2*b^13 - 68*A^3*a^3*b^12 - 52*A^3*a^4*b^11 + 72*A^3*a^5*b^10 + 26*A^3*a^6*b^9 - 36*
A^3*a^7*b^8 - 4*A^3*a^8*b^7 + 8*A^3*a^9*b^6 - 432*B^3*a^4*b^11 - 432*B^3*a^5*b^10 + 1404*B^3*a^6*b^9 + 756*B^3
*a^7*b^8 - 1728*B^3*a^8*b^7 - 486*B^3*a^9*b^6 + 972*B^3*a^10*b^5 + 108*B^3*a^11*b^4 - 216*B^3*a^12*b^3 + 20*C^
3*a^3*b^12 - 20*C^3*a^4*b^11 + 411*C^3*a^5*b^10 - 11*C^3*a^6*b^9 + 1314*C^3*a^7*b^8 + 2326*C^3*a^8*b^7 - 7829*
C^3*a^9*b^6 - 4770*C^3*a^10*b^5 + 11700*C^3*a^11*b^4 + 3456*C^3*a^12*b^3 - 7344*C^3*a^13*b^2 + 6*A*C^2*a*b^14
+ 24*A^2*C*a*b^14 - 2592*B*C^2*a^14*b + 504*A*B^2*a^3*b^12 + 648*A*B^2*a^4*b^11 - 1548*A*B^2*a^5*b^10 - 972*A*
B^2*a^6*b^9 + 1800*A*B^2*a^7*b^8 + 558*A*B^2*a^8*b^7 - 972*A*B^2*a^9*b^6 - 108*A*B^2*a^10*b^5 + 216*A*B^2*a^11
*b^4 - 192*A^2*B*a^2*b^13 - 312*A^2*B*a^3*b^12 + 564*A^2*B*a^4*b^11 + 396*A^2*B*a^5*b^10 - 624*A^2*B*a^6*b^9 -
210*A^2*B*a^7*b^8 + 324*A^2*B*a^8*b^7 + 36*A^2*B*a^9*b^6 - 72*A^2*B*a^10*b^5 - 6*A*C^2*a^2*b^13 + 207*A*C^2*a
^3*b^12 + 33*A*C^2*a^4*b^11 + 1158*A*C^2*a^5*b^10 + 1974*A*C^2*a^6*b^9 - 4977*A*C^2*a^7*b^8 - 3405*A*C^2*a^8*b
^7 + 6486*A*C^2*a^9*b^6 + 2088*A*C^2*a^10*b^5 - 3744*A*C^2*a^11*b^4 - 432*A*C^2*a^12*b^3 + 864*A*C^2*a^13*b^2
+ 12*A^2*C*a^2*b^13 + 300*A^2*C*a^3*b^12 + 552*A^2*C*a^4*b^11 - 1020*A^2*C*a^5*b^10 - 747*A^2*C*a^6*b^9 + 1188
*A^2*C*a^7*b^8 + 408*A^2*C*a^8*b^7 - 636*A^2*C*a^9*b^6 - 72*A^2*C*a^10*b^5 + 144*A^2*C*a^11*b^4 - 12*B*C^2*a^2
*b^13 + 12*B*C^2*a^3*b^12 - 489*B*C^2*a^4*b^11 + 9*B*C^2*a^5*b^10 - 2892*B*C^2*a^6*b^9 - 3972*B*C^2*a^7*b^8 +
13347*B*C^2*a^8*b^7 + 7767*B*C^2*a^9*b^6 - 18594*B*C^2*a^10*b^5 - 5400*B*C^2*a^11*b^4 + 11232*B*C^2*a^12*b^3 +
1296*B*C^2*a^13*b^2 + 144*B^2*C*a^3*b^12 + 1980*B^2*C*a^5*b^10 + 2268*B^2*C*a^6*b^9 - 7524*B^2*C*a^7*b^8 - 42
03*B^2*C*a^8*b^7 + 9828*B^2*C*a^9*b^6 + 2808*B^2*C*a^10*b^5 - 5724*B^2*C*a^11*b^4 - 648*B^2*C*a^12*b^3 + 1296*
B^2*C*a^13*b^2 - 120*A*B*C*a^2*b^13 - 24*A*B*C*a^3*b^12 - 1560*A*B*C*a^4*b^11 - 2268*A*B*C*a^5*b^10 + 5568*A*B
*C*a^6*b^9 + 3642*A*B*C*a^7*b^8 - 6840*A*B*C*a^8*b^7 - 2160*A*B*C*a^9*b^6 + 3816*A*B*C*a^10*b^5 + 432*A*B*C*a^
11*b^4 - 864*A*B*C*a^12*b^3))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 -
a^7*b^12) - (a*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A
^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b
^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*
B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B
^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2
*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2
*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13
- 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 -
318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64
*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376
*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192
*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 11
28*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11
+ 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) + (a*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^
17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^1
8 - 156*B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^
10*b^11 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 -
100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19
- 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b
)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*
b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 -
32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8
*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(-(
a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C
*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))
*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6
*B*a^5*b))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)) + (a*(-(a + b)^5*(a - b)^
5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*
a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^
7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 28
8*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*
B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^
2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 110
4*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12
- 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 +
192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 +
336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 9
6*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 10
08*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3
+ 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)
- (a*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 +
36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16
+ 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*
b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 2
4*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*
b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*
C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*(8*a*
b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*
b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3
*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6
+ 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))
/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4
+ 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 +
10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5))))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2
*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*1i)/(d*(b^15 - 5*a^2
*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5))